Fonction continue

soit f une fonction numérique de variable réelle ,verifiant:
*f continue en 0 .
*f(1)=1 .
* $Fonction continue F85b4ba0b13946c277e87f8bc0beff11$
1-Démontrer que :
*f(0)=0 et que f est paire.
* $Fonction continue D8fd32985f2c558263368ef8a57457c9$
* $Fonction continue 6d8add2c08da455bb403f997d41af3db$
2-Démontrer que :
$Fonction continue 1cfd81940771eae984c2b14865ee34c6$
et en déduire que f est continue sur IR

membre inactif Nombre de messages : 3 Age : 35 Date d'inscription : 24/11/2006

1/
*)on pose x=y=0 on a :
[f(0)-2f(0) ]² = 4f(0)²
donc : f(0)² = 4 f(0)²
===> f(0) = 0

*)on pose x=-y
on a: [ f(0) - f(x) - f(-x) ]² = 4f(x)f(-x)
==> f(x)² + 2f(x)f(-x) + f(-x)² = 4f(x)f(-x)
==> f(x)² - 2f(x)f(-x) + f(-x)² =0
==> [f(x) -f(-x)]² = 0
==> f(x) = f(-x)
==> f est paire

*)on pose y = 1 on a :
[f(x+1) - f(x) -1]² = 4f(x)
==> f(x) = [f(x+1) - f(x) -1]² / 4
==> f(x) >=0

*)on pose : y = x on a:
[f(2x) - 2f(x) ]² = [2f(x)]²
f(2x)[f(2x) - 4f(x)] =0
==> f(2x) =0 ou f(2x) = 4 f(x)

2/
*)on a : [ f(x+y) - f(x) - f(y) ]² = 4f(x)f(y)
==> V([ f(x+y) - f(x) - f(y) ]²) = V(4f(x)f(y))
==> l f(x+y) - f(x) - f(y) l = 2V(f(x)f(y))
et on sait que : l f(x+y) - f(x) l - l f(y) l =< l f(x+y) - f(x) - f(y) l
==> l f(x+y) - f(x) l =< 2V(f(x)f(y)) + f(y)

suffit de calculer la limite