sujet bac sm 2007

:


Soit

s'assurer que
En Déduire que est une loi de composition interne Dans .
Montrer que est un groupe commutative.



est l'ensemble des Matrices carrés de 2éme dégrés , on précise que ( ,+,x) est un Anneau Unitaire tel que I son unité et que ( est un éspace vectoriel.
Soit
et
1-
s'assurer que et que
Montrer que est une Partie Stable de

Soit l'application définie :
,x)

Montrer que est un momorphisme bijective
En déduire la structure de x).

Exercise 2 :

Soit a un nombre Complexe différent de i et -i

1-

s'assurer que est une solution de l'équation
.
Trouve l'autre Solution v de l'équation (E).

2- on suppose dans cette question que =1

2-1 Montrer que
2-2 s'assurer que
2-3 En Déduire que
3- Montrer que



Le plan Complexe est rapporté à un repére orthonormé Direct
Soit tel que m est strictement plus grand que 2 et l'ensemble des points du plan complexe tel que : .
1- Montrer que est une Ellipse de centre O
2- on suppose que tel que
2-1 Montrer que est une équation cartésienne de l'Ellipse
2-2 Tracez

3- on considére les deux points et les têtes de l'Ellipse
Montrer que la Droite est une tangente de l'ellipse

Exercise 3:

1-on considére dans l'équation suivante:


1-1 Trouvez le
1-2 Montrez que l'ensemble des solutions de (E) est
1-3 Trouvez le seul nombre tel que :
et
2- Montrez que 233 est un nombre premier
3- Soit
on considére l'application f définie de A à A tel que :
est le reste de la division euclidienne du nombre sur 233.
On admet que
3-1 Montrez que
3-2 Soit et deux élément de A tel que
Trouvez en fonction de
3-3 En déduire que est une bijection et Trouvez

Exercise 4 :



1- On considére la fonction Définie en par :
1-1 Montrez que :
1-2 Montrez que est la seul solution de l'équation



Soit la fonction définie en par :



et Soit la courbe de f représenté dans le repére orthonormé
1- calculez les 2 limites suivantes :
et .
2- Montrez que est continue en 0.
3-1 calculez pour Tout x appartenant à
3-2 En déduire le tableau de variation de

4- On considére l'intégrale
4-1 En utilisant l'intégration par partie Montrer que

4-2 Montrez que :
.

4-3 Montrez que :
.

4-4 En déduire que est Dérivble en 0 et que

5-1 Montrez que :


5-2 Déterminer le signe de pour tous appartenant à .

5-3 En déduire que est strictement positive.

5-4 Tracez La courbe




On considére la suite numérique Définie par :



1- Montrez que est la seulle solution de l'équation

2-1 Montrez que

2-2 Montrez que

2-3 Montrez que est convergeante et Trouvez sa limite .



On considére la fonction Définie en par:




1-1 Montrez que :


1-2 Montrez que est Continue en 0

1-3 Montrez que est Dérivable en 0 et que

2-1 Montrez que est Dérivable sur et que :


2-2 En Déduire les variations de